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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 5 - Polinomio de Taylor

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5.2. Calcular el polinomio de Taylor de las siguientes funciones del orden indicado centrado en $x_{0}$.
e) $f(x)=x \ln (x+1)$ de orden 3 con $x_{0}=0$.

Respuesta

Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $3$ centrado en $x=0$ de la función $f(x)=x \ln (x+1)$

Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:

$ p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 $

Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que evaluar $f$ y sus derivadas en $x=0$. Hacemos eso:

$ f(x) = x \ln(x+1) $ $f(0) = 0$ $ f'(x) = 1 \cdot \ln(x+1) + \frac{x}{x+1} $ $ f'(0) = 0 $ $f''(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}$ $f''(0) = 2$ $f'''(x) = \frac{-1}{(x+1)^2} + \frac{-2(x+1)}{(x+1)^4}$ $f'''(0) = -3$ ¡Listo! Reemplazamos los valores obtenidos en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor: $ p(x) = x^2 - \frac{1}{2}x^3 $
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Avatar Constanza 18 de octubre 20:10
Hola flor si a mi tambien me esta costando llegar a la deriva 2 mmmmm
Avatar Flor Profesor 20 de octubre 15:44
@Constanza Hola Constanza! Ahí le acabo de responder a Sofi abajo, avisame si sale! :) Sino lo seguimos charlando!
Avatar Constanza 22 de octubre 13:47
@Flor 2025-10-22%2013:47:10_8061774.png
Avatar Sofia 18 de octubre 14:58
Hola Flor, te queria consultar como llegaste a la derivada tercera de la funcion porque no me estaria saliendo 😢​😢​
Avatar Flor Profesor 20 de octubre 15:42
@Sofia Hola Sofi! Decís cuando pasamos de $f''$ a $f'''$, no? 

O sea, cómo derivar esta función:

$f''(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}$

Tenés dos formas para pensarlo: La primera, es derivar cada uno usando regla del cociente -> O sea, para $\frac{1}{x+1}$ tomá $1$ como "el primero" y a $x+1$ como "el segundo" (acordate que la derivada de 1 es cero, así que cuando hagas "el primero derivado" ahi te va a quedar cero), y lo mismo con el otro, para derivar $\frac{1}{(x+1)^2}$ tomás a $1$ como "el primero" y a $(x+1)^2$ como "el segundo" 

En general esta opción para mí es la que resulta más fácil 

Sino, otra manera es primero (antes de derivar) reescribir la función así usando reglas de potencias

$f''(x) = (x+1)^{-1} + (x+1)^{-2}$ 

Y ahora sí derivas usando las reglas para polinomios 

Por cualquiera de los dos caminos deberías llegar a $f'''(x)$, avisame si salió! :)
Avatar Sofia 21 de octubre 16:08
@Flor muchas gracias!!
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