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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 5 - Polinomio de Taylor

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5.2. Calcular el polinomio de Taylor de las siguientes funciones del orden indicado centrado en x0x_{0}.
e) f(x)=xln⁡(x+1)f(x)=x \ln (x+1) de orden 3 con x0=0x_{0}=0.

Respuesta

Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden 33 centrado en x=0x=0 de la función f(x)=xln⁡(x+1)f(x)=x \ln (x+1)

Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:

p(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3 p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3

Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que evaluar ff y sus derivadas en x=0x=0. Hacemos eso:

f(x)=xln⁡(x+1) f(x) = x \ln(x+1) f(0)=0f(0) = 0 f′(x)=1⋅ln⁡(x+1)+xx+1 f'(x) = 1 \cdot \ln(x+1) + \frac{x}{x+1} f′(0)=0 f'(0) = 0 f′′(x)=1x+1+1(x+1)2f''(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} f′′(0)=2f''(0) = 2 f′′′(x)=−1(x+1)2+−2(x+1)(x+1)4f'''(x) = \frac{-1}{(x+1)^2} + \frac{-2(x+1)}{(x+1)^4} f′′′(0)=−3f'''(0) = -3 ¡Listo! Reemplazamos los valores obtenidos en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor: p(x)=x2−12x3 p(x) = x^2 - \frac{1}{2}x^3
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