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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
5.2.
Calcular el polinomio de Taylor de las siguientes funciones del orden indicado centrado en $x_{0}$.
e) $f(x)=x \ln (x+1)$ de orden 3 con $x_{0}=0$.
e) $f(x)=x \ln (x+1)$ de orden 3 con $x_{0}=0$.
Respuesta
Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $3$ centrado en $x=0$ de la función $f(x)=x \ln (x+1)$
Reportar problema
Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:
$ p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 $
Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que evaluar $f$ y sus derivadas en $x=0$. Hacemos eso:
$ f(x) = x \ln(x+1) $
$f(0) = 0$
$ f'(x) = 1 \cdot \ln(x+1) + \frac{x}{x+1} $
$ f'(0) = 0 $
$f''(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}$
$f''(0) = 2$
$f'''(x) = \frac{-1}{(x+1)^2} + \frac{-2(x+1)}{(x+1)^4}$
$f'''(0) = -3$
¡Listo! Reemplazamos los valores obtenidos en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor:
$ p(x) = x^2 - \frac{1}{2}x^3 $